동차, Homogeneous

 

 

동차방정식, 균질성, 호모지니어스하다.

 

Homogeneous란 뭐지? 호모지니어스..?

 

Homogeneous란 단어는 대체 어디서 나온 말일까?

 

 

Homogeneous란 단어를 학생들이 최초로 접하는 시기는

 

아마도 대학교의 칼큘러스나 공업수학을 통해서일 것이다.

 

생김새는 아래와 같다.

 

$$a_ny^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_1y^{\prime}+a_0y=0$$

 

책에서의 설명은

 

"위 방정식의 우변이 0이 되기 때문에 호모지니어스 합니다."라고 설명한다.

 

쉽게 말해 $=0$꼴이니까 호모지니어스 하다는 것이다.

 

 

내 경우에는 공업수학을 배울 때

 

처음 호모지니어스라는 단어를 접한 것 같은데

 

상당히 당황스러웠다. 내 첫 느낌은 이랬다.

 

"뭐지? 우변이 0이면 그냥 호모지니어스?

 

뭔가.. 단어는 무지막지한데

 

고작 우변이 0인 걸 표기하려고 이런 단어를 쓰나?"

 

 

그래서 그 당시 인터넷을 뒤져본 결과

 

homogeneous equation이란

 

$f(\alpha x)=\alpha ^{n}f(x)$로 표기할 수 있는 방정식을 일컬으며

 

여기서 $n$은 이 homogeneous equation의 차수를 말한다. (알파는 0이 아님)

 

라고 돼있었다.

 

 

그래서 그 당시에 했던 생각은

 

$$f(x)=a_nx^{(n)}+a_{n-1}x^{(n-1)}+\cdots +a_1x^{\prime}+a_0x=0$$

 

으로 놓으면..

 

$f(x)=0$ 이니까

 

$f(\alpha x)=\alpha f(x) =0$ 이고

 

$f(\alpha x)=\alpha ^{2}f(x)=\alpha ^{3}f(x) = \cdots = \alpha^{n}f(x)$

 

로 표기할 수 있어서 homogeneous 이군!

 

이라고 그냥 넘어갔다.

 

 

뭐 이 정도면 착한 학생 아닌가?

 

그런데 이 설명도 나한테는 좀 부족했다.

 

대체 왜 수학자들은

 

$f(\alpha x)=\alpha ^{n}f(x)$ 로 표기할 수 있을 때

 

homogeneous라고 했을까?

 

homogeneous는 균질, 동일과 같은 의미인데

 

왜 수학자들은 저 식에 "동일하다"라는 이름을 붙혀줬을까?

 

이유가 있지 않을까?

 

이런 생각이 뇌리에서 떠나지 않았다.

 

나중에 따로 공부를 하면서 느낀 건

 

homogeneous라는 건 정말정말 중요한 개념이구나

 

라는 사실이었다.

 

 

먼저 왜 이름을 호모지니어스라고 붙혀줬는지 알기 위해

 

한가지 예를 들어보자.

 

두 개의 변수를 가지는 어떤 함수 $f(x,y)$는 아래와 같은 식을 만족할 때

차수는 $\alpha$이며 호모지니어스하다고 말한다.

 

$$f(tx,ty)=t^{\alpha}f(x,y)$$

 

예를 들어 $f(x,y)=x^4y^2+x^3y^3$이라면

 

$$\begin{align}f(tx,ty) & =(tx)^4(ty)^2+(tx)^3(ty)^3 \\ \\ & = t^6(x^4y^2+x^3y^3) \\ \\ & = t^6f(x,y) \end{align}$$

 

이므로 차수 6을 가지며 호모지니어스하다는 것이다.

 

 

근데, 아직도 호모지니어스하다. 동일하다라는 의미를 잘 파악하지 못하겠다.

 

이것만 해보면 된다.

 

$x$와 $y$에 "단위"를 한번 넣어보자.

 

예를 들어 $x$는 m라는 단위를 가지고, $y$도 m라는 단위를 가진다고 하자.

 

그럼 $f(x,y)$와 $f(tx,ty)$의 단위는

 

"$m^6$으로 같다"

 

만약 $f(x,y)$가 호모지니어스 하지 않다면 어떨까

 

$f(x,y)=x^3+x^2+y$라고 해보자.

 

이 식은 $$f(tx,ty)=t^{\alpha}f(x,y)$$이 안되므로 호모지니어스하지 않다.

 

또한 단위를 대입해보면 $m^3,\; m^2,\; m$ 이렇게 따로따로의 단위가 된다.

 

따라서 물리적인 단위가 다르기 때문에,

 

결과값들을 합해줄 수가 없고,

 

결론적으로 말해

 

물리적인 의미가 없어진다.

 

 

따라서 정리하면

 

호모지니어스하다는 것은

 

$f(x,y)$가 $f(tx,ty)$와 "종류가 같다", "카테고리가 같다"라는 의미에서 나온 것이다.

 

$f(x,y)$의 $x$와 $y$를 동일한 비율로 다르게 넣어주어도

 

$(x,y)=(1,1)$을 넣어주든, $(x,y)=(2,2)$를 넣어주든

 

그 결과는

 

"물리적인 의미가 같은 결과"

 

"카테고리가 같은 결과"가 나온다는 것이다.

 

 

 

 

여기서부터 의미가 확장돼서

 

$f(x,y)$가 0차수에서 호모지니어스 일 때

 

$$f(x,y)=f(1,\frac{y}{x})=g(\frac{y}{x})$$

 

이렇게 꼴을 만들어서 미분방정식을 풀 수 있으므로

 

상수계수를 가지는 미분방정식이 호모지니어스하면

 

저 꼴로 변형해서 "풀수 있다"라는 결과가 된 것이다.

 

 

또한 호모지니어스는

 

선형대수에서 solution space를 의미하며

 

사영에서는 homogeneous coordinates라는 개념으로 확장된다.

 

이것은 선형대수와 사영분야를 공부하면 알 수 있는 내용이므로

 

다루지 않기로 한다.