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선형성이란 건 대체 뭘까.

 

 

공학분야를 공부하다 보면 선형성(linearity)이라는 말이 자주 나온다.

 

신호쪽에서 Linear Time Invariant System(줄여서 LTI 시스템)을 공부할 때라든지

 

선형대수에서 Linear Transform (선형변환)을 배울 때라든지 등등.

 

 

 

 

그 때마다 어김없이 등장하는 것이

 

"선형성을 만족한다는 것은 아래의 두 조건을 만족한다는 것이다"

 

$$\begin{align} & (i)\;f(\mathbf{x+y})=f(\mathbf{x})+f(\mathbf{y}) \\ \\ & (ii)\; f(k\mathbf{x})=kf(\mathbf{x})\end{align}$$

 

그러면서 한마디가 더 붙는다. (i) 는 additivity 성질이며, (ii)는 homogeneity 성질이라고.

 

 

 

그런데 사실 의문이 든다.

 

"선형성은 선을 나타내는 거 아닌가? 왜 갑자기 뜬금없이 수식이 나와?"

 

 

 

선형성은 수학 및 공학에서 여러가지 의미로 사용된다.

 

 

우리가 처음으로 접하는 선형이라는 단어는

 

아마도 고등학교(?) 시절 접하는 선형 함수일 것이다.

 

$y=x+1$ 은 선형 함수라고 하면서 배운다.

 

이 때의 선형의 의미는 "차수가 1 이하인 다항식"정도 일 것이다.

 

 

그런데, "차수가 1 이하인 다항식"은

 

그래프 상에 "직선", "선"을 그리기 때문에

 

마치, "선형함수는 직선함수"

 

"선형이란 마치 선을 그리는 무엇"과 같은 관념이 생기나보다.

 

 

그래서 맨 처음 선형성이라는 것을 배울 때

 

"$f(x)=x+1$ 은 선형함수이니까. 선형성을 가지겠지?"라며

 

$$\begin{align} & (i)\;f(\mathbf{x+y})=f(\mathbf{x})+f(\mathbf{y}) \\ \\ & (ii)\; f(k\mathbf{x})=kf(\mathbf{x})\end{align}$$

 

위 식에 대입한 후, "뭐야 왜 안돼?"라고 따지는 "나 같은" 사람도 있을 것이다.

 

 

하지만 공학에서의 "선형성"은 "선형적인 비례"라는 의미가 강하다.

 

위의 $f(x)=x+1$을 예로 들자면

 

$f(x)=$출력, $x=$입력이라고 정의하고

 

출력$=$입력$+1$이라고 다시 쓰면

 

입력에 10을 주면 출력에 11이 나오니까

입력에 20을 주면 출력에 22라는 "비례하는" 값이 나오길 기대한다는 의미로 사용된다는 것이다.

 

 

그리고 이 선형적인 비례라는 개념은

"독립성"이라는 개념으로 확장된다.

 

선형성을 가지면

어떤 임의의 입력을 가해도,

하나의 입력을 가하든,

입력을 섞어서 가하든

출력은 그 입력에 비례하는 값이 나오니까

 

임의의 입력들을 "섞어서" 가해도

출력은 그 입력들에 비례하는 각각의 값들을

"섞은(합한)" 값이 나오겠지?"

라는 의미로 확장된다는 것이다.

 

 

이에 따라, 신호 및 시스템에서는

 

superpose ~위에 얹어놓다라는 의미에서

 

입력 위에 어떤 입력을 얹어서

 

선형시스템에 집어넣으면

 

각 입력에 대한 출력을 얹어놓은 값이 나온다라고 해서

 

$$\mathbf{if}\; y_1=f(x_1)\;\mathbf{and}\;y_2=f(x_2)\;\mathbf{then}\; f(x_1+x_2)=y_1+y_2$$

 

이므로 superposition principle이 성립한다라고 하면서,

 

선형성을 가지면 superposition을 가진다라고 배우게 되며,

 

실공간에서는 연속이고 superposition이면 선형성을 가지지만

 

복소공간에서는 $f(a+bi)=a$ 일 때

 

$f(0+1\cdot i)=f(i)=0$ 이므로

 

$f(-i\cdot i)=f(1)=1\neq -if(i)=-i\cdot 0=0$

($f(\alpha x)=\alpha f(x)$ : homogeneity 성질)

 

homogeneity를 만족하지 않아

 

Superposition을 가진다고 해서 반드시 선형성을 가지진 않는다고 배운다.

 

 

양자역학에서는 이 superposition이라는 의미가 조금 다른 의미로 사용되는데..

 

이렇게 꼬리에 꼬리를 물고 설명하게 되면 글이 너무 길어지므로

 

이 정도에서 멈추기로 하자.

 

 

 

정리하면

 

학창시절에 배운 선형함수에서의 선형은

1차 이하의 다항식을 그래프로 나타낼 때,

선형으로 나타나기 때문에 정의된 용어라면,

 

대학교시절부터 배우는 선형성은

선형변환(선형대수에서 나오는 개념)을 나타내기 위한

비례관계를 말한다는 것이다.

(사실 비례라는 단어 하나로 정의하기에는 무리가 있지만

 간단히 이해하자면 이렇다.)

 

 

그러면 또 의문을 표하는 경우가 생긴다.

 

"아니 대학교 1학년 때, 칼큘러스에서 linear, homogeneous ordinary differential equations를 배우는데

 

여기서 linear는 뭐죠?"

 

아마 많은 학생들이 의문을 품을 것이다.

 

이걸 선형 동차 미분방정식(?) 이런 용어로 부르는데

(상수계수를 가진다고 가정하자)

 

$$a_ny^{n}+a_{n-1}y^{n-1}+\cdots +a_1y^{\prime}+a_0y=0$$

 

이렇게 생긴 놈이다.

 

앞에서도 이미 말했으니까

 

"아니 이거 직선형태의 함수가 아닌데 왜 linear냐고요"

 

라고 따지지말자.

 

"이건 선형대수의 선형변환이라는 아이디어 때문에"

"linear"라는 이름이 붙은 식이다.

 

이것은 선형대수학을 안배운 사람이라면

왜 linear라고 하는지 확 와닿지 않는 개념이기 때문에

자세한 설명은 선형대수학의 선형변환을 참조하길 바란다.

 

아무튼 중요한 건, 선형성이 "비례"의 느낌을 많이 갖는다는 것이다.